Докажите теорему: если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть в параллелограмме ABCD диагональ AC — биссектриса угла BAD. Тогда ∠BAC = ∠CAD.

1. Так как AD параллельна BC, то ∠CAD = ∠ACB как накрест лежащие углы.
2. Следовательно, ∠BAC = ∠ACB. В треугольнике ABC против равных углов лежат равные стороны, значит, AB = BC.
3. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Поэтому AB = BC = CD = AD.

Итак, все стороны параллелограмма равны, следовательно, ABCD — ромб.