Докажите тождества: 1) $\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0$; 2) $\frac{a+3}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}+\frac6{a^2-1}=\frac2{a^2-1}$; 3) $\frac{2a^2+4}{a^2-1}-\frac{a-2}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}=\frac1{a-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите тождества: 1) $\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Область допустимых значений: $a\ne0$, $a\ne b$. Так как $a^2-ab=a(a-b)$, приведём выражение к общему знаменателю:

\[\frac{(a+b)(a-b)-a^2+b^2}{a(a-b)}=\frac{a^2-b^2-a^2+b^2}{a(a-b)}=0.\]

2) Область допустимых значений: $a\ne-1,1$. Приведём левую часть к знаменателю $(a-1)(a+1)$:

\[\frac{(a+3)(a-1)-(a+1)^2+6}{(a-1)(a+1)}=\frac{a^2+2a-3-a^2-2a-1+6}{a^2-1}=\frac2{a^2-1}.\]

Это совпадает с правой частью.

3) Область допустимых значений: $a\ne-1,1$. Приведём левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{2a^2+4-(a-2)(a-1)-(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{2a^2+4-(a^2-3a+2)-(a^2+2a+1)}{a^2-1}=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac1{a-1}.\]

В каждом пункте левая часть равна правой при всех допустимых значениях переменной.

Докажите тождества: 1) \(\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0\); 2) \(\frac{a+3}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}+\frac6{a^2-1}=\frac2{a^2-1}\); 3) \(\frac{2a^2+4}{a^2-1}-\frac{a-2}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}=\frac1{a-1}\).