Домашнее задание. 3. Докажите тождество: (b³/(b²−8b+16) − b²/(b−4)) : (b²/(b²−16) − b/(b−4)) = (b²+4b)/(4−b).

Область допустимых значений: \(b\ne 4,\;b\ne -4,\;b\ne 0\).

1. Разложим знаменатели: \(b^2-8b+16=(b-4)^2\), \(b^2-16=(b-4)(b+4)\).
2. Упростим первую скобку: \(\displaystyle \frac{b^3}{(b-4)^2}-\frac{b^2}{b-4}=\frac{b^3-b^2(b-4)}{(b-4)^2}=\frac{4b^2}{(b-4)^2}\).
3. Упростим вторую скобку: \(\displaystyle \frac{b^2}{(b-4)(b+4)}-\frac{b}{b-4}=-\frac{4b}{(b-4)(b+4)}\).
4. Найдём частное: \(\displaystyle \frac{4b^2}{(b-4)^2}:\left(-\frac{4b}{(b-4)(b+4)}\right)=-\frac{b(b+4)}{b-4}=\frac{b^2+4b}{4-b}\).

Получено выражение правой части, поэтому тождество доказано на области допустимых значений.