Ответ:
1) Денег ни гроша, зато слава хороша. Зато — сочинительный противительный союз.
2) Выведи, мой друг, меня сперва из затруднения, а потом нравоучения прочтёшь. А — сочинительный противительный союз. «Мой друг» — обращение. В слове нравоучения пишется слитно.
3) Звёзды уже начали бледнеть, и небо серело, когда коляска подъехала к крыльцу домика. И — сочинительный соединительный союз; когда — подчинительный временной союз. Запятая перед и не ставится, поскольку придаточная часть с когда общая для обеих частей.
4) Не только наш класс пришёл на праздник, но и весь город медленно стекался к мемориалу. Не только… но и — составной сочинительный соединительный союз.
5) Остров закрывал утренний густой туман, однако поднявшееся солнце ударило по нему золотыми лучами, и туман быстро рассеялся, растаял. Однако — сочинительный противительный союз; и — сочинительный соединительный союз. «Рассеялся, растаял» — однородные сказуемые.
6) Не то пожар пылал во всей своей красе, не то зарево разливалось в округе. Не то… не то — сочинительный разделительный союз.
