Домашняя работа. Параллелограммы. 2. На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, MP = PB = AK; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

В треугольнике MPB даны MP = PB и угол между этими сторонами равен 60°. Значит, треугольник MPB равносторонний, поэтому BM = MP = PB и ∠PMB = 60°.

Поскольку B лежит на MH, угол PMB — угол параллелограмма при вершине M. Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние в сумме дают 180°.

Из MP = PB = AK следует, что PA = PB и PK = PA + AK = 2PB. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому MH = PK = 2PB. Так как MB = PB, получаем BH = PB.

Положим PB = a. Векторно или по теореме косинусов для диагонали AH: при ∠M = 60° можно взять MH = 2a, MP = a, а PA = a. Тогда AH² = (a − a)² + 3a² = 3a², следовательно, AH = √3a. При этом BM = a.

Ответ: углы параллелограмма равны 60° и 120°; BM < AH.