Домашняя работа. Параллелограммы. 3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K, а на сторонах AB и BC — точки M и P соответственно, причём PK = MB, ∠KPC = 80°, ∠C = 50°. Докажите, что KMBP — параллелограмм.

Так как AC — основание равнобедренного треугольника ABC, то AB = BC и углы при основании равны: ∠A = ∠C = 50°. Поэтому ∠B = 80°.

Точки K и P лежат соответственно на AC и BC. В треугольнике KPC углы при C и P равны 50° и 80°, поэтому ∠PKC = 50°. Следовательно, PK = KC.

Из ∠KPC = 80° = ∠ABC следует, что PK ∥ MB, поскольку MB лежит на AB, а угол между PK и PC равен углу между AB и BC; при этом направления прямых дают параллельность. Кроме того, по условию PK = MB.

В четырёхугольнике KMBP одна пара противоположных сторон MB и PK равна и параллельна. Следовательно, KMBP — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.