Дополнительное необязательное задание 8 на отдельную оценку. Задание 8. Решить уравнение с проверкой: \(10\sqrt{x^2-x-1}+\frac{3}{\sqrt{x^2-x-1}}=13\). Указание: введите замену \(\sqrt{x^2-x-1}=t\), где \(t>0\).

Область допустимых значений требует \(x^2-x-1>0\). Введём указанную замену \(t=\sqrt{x^2-x-1}\), где \(t>0\). Тогда \(10t+\frac3t=13\).

Умножим на \(t\): \(10t^2-13t+3=0\). Разложение на множители: \((10t-3)(t-1)=0\). Поэтому \(t=\frac3{10}\) или \(t=1\).

При \(t=1\): \(x^2-x-1=1\), то есть \(x^2-x-2=0\), откуда \(x=2\) или \(x=-1\).

При \(t=\frac3{10}\): \(x^2-x-1=\frac9{100}\), поэтому \(x^2-x-\frac{109}{100}=0\). Отсюда \(x=\frac{5+\sqrt{134}}{10}\) или \(x=\frac{5-\sqrt{134}}{10}\).

Проверка: для корней первой пары подкоренное выражение равно 1, и \(10\cdot1+\frac31=13\). Для корней второй пары оно равно \(\frac9{100}\), поэтому корень равен \(\frac3{10}\), а \(10\cdot\frac3{10}+\frac{3}{3/10}=3+10=13\). Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x=-1;\ 2;\ \frac{5-\sqrt{134}}{10};\ \frac{5+\sqrt{134}}{10}\).