2. Дуга AB равна 270°. Найдите радиус окружности, если длина хорды AB=√2 см.

Пусть радиус окружности равен R. Дуга AB составляет $$\frac{270}{360} = \frac{3}{4}$$ всей окружности. Это означает, что угол AOB равен 270°. Рассмотрим угол AOB, где O — центр окружности. Поскольку угол AOB больше 180°, рассмотрим угол, образованный при отражении точки O относительно прямой AB, назовем его O'. Тогда угол AO'B = 360° - 270° = 90°. Треугольник AO'B — прямоугольный, и AO' = BO' = R. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AO'^2 + BO'^2$$, то есть $$(\sqrt{2})^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$$. Отсюда $$2 = 2R^2$$, значит, $$R^2 = 1$$, и $$R = 1$$. Ответ: Радиус окружности равен 1 см.