183. Два металлических шара радиусами R₁=2см и R2=6см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд Q= 1 нКл. Найти поверхностную плотность о зарядов на шарах.

Решение:

Когда два шара соединены проводником, они образуют одну систему с общим потенциалом. Заряд распределяется между шарами так, чтобы потенциалы шаров были равны.

Пусть \[Q_1\] и \[Q_2\] - заряды на первом и втором шарах соответственно. Тогда:

\[Q_1 + Q_2 = Q\]

Потенциал шара определяется формулой:

\[\varphi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}\]

Поскольку потенциалы шаров равны:

\[\frac{Q_1}{4 \pi \epsilon_0 R_1} = \frac{Q_2}{4 \pi \epsilon_0 R_2}\] \[\frac{Q_1}{R_1} = \frac{Q_2}{R_2}\]

Отсюда:

\[Q_1 = \frac{R_1}{R_2} Q_2\]

Подставим это в уравнение для общего заряда:

\[\frac{R_1}{R_2} Q_2 + Q_2 = Q\] \[Q_2 \left( \frac{R_1}{R_2} + 1 \right) = Q\] \[Q_2 = \frac{Q}{\frac{R_1}{R_2} + 1} = \frac{Q}{\frac{R_1 + R_2}{R_2}} = \frac{Q R_2}{R_1 + R_2}\] \[Q_1 = Q - Q_2 = Q - \frac{Q R_2}{R_1 + R_2} = \frac{Q R_1}{R_1 + R_2}\]

Поверхностная плотность заряда определяется формулой:

\[\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4 \pi R^2}\]

Для первого шара:

\[\sigma_1 = \frac{Q_1}{4 \pi R_1^2} = \frac{Q R_1}{4 \pi R_1^2 (R_1 + R_2)} = \frac{Q}{4 \pi R_1 (R_1 + R_2)}\]

Для второго шара:

\[\sigma_2 = \frac{Q_2}{4 \pi R_2^2} = \frac{Q R_2}{4 \pi R_2^2 (R_1 + R_2)} = \frac{Q}{4 \pi R_2 (R_1 + R_2)}\]

Подставим значения:

\[R_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}\] \[R_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}\] \[Q = 1 \text{ нКл} = 1 \times 10^{-9} \text{ Кл}\] \[\sigma_1 = \frac{1 \times 10^{-9}}{4 \pi (0.02) (0.02 + 0.06)} = \frac{1 \times 10^{-9}}{4 \pi (0.02) (0.08)} \approx 4.97 \times 10^{-8} \text{ Кл/м}^2\] \[\sigma_2 = \frac{1 \times 10^{-9}}{4 \pi (0.06) (0.02 + 0.06)} = \frac{1 \times 10^{-9}}{4 \pi (0.06) (0.08)} \approx 1.66 \times 10^{-8} \text{ Кл/м}^2\]

Ответ: \( \sigma_1 \approx 4.97 \times 10^{-8} \text{ Кл/м}^2 \), \( \sigma_2 \approx 1.66 \times 10^{-8} \text{ Кл/м}^2 \)