216 Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны; б) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

Доказательство:

а) Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Односторонние углы, образованные при пересечении, обозначим как ∠1 и ∠2. Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке O.

Так как углы ∠1 и ∠2 односторонние, то их сумма равна 180°: $$∠1 + ∠2 = 180°$$.

Биссектрисы делят каждый из этих углов пополам, поэтому:

$$\frac{1}{2}∠1 + \frac{1}{2}∠2 = \frac{1}{2}(∠1 + ∠2) = \frac{1}{2}(180°) = 90°$$

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами и секущей. В этом треугольнике сумма двух углов (половин односторонних углов) равна 90°, следовательно, третий угол (угол между биссектрисами) также равен 90°.

Таким образом, биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

б) Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении, обозначим как ∠3 и ∠4. Пусть биссектрисы этих углов - l и m.

Так как углы ∠3 и ∠4 накрест лежащие, то они равны: $$∠3 = ∠4$$.

Биссектрисы делят каждый из этих углов пополам, поэтому:

$$\frac{1}{2}∠3 = \frac{1}{2}∠4$$

Эти половины накрест лежащих углов, образованные секущей с биссектрисами l и m равны, то l||m.

Таким образом, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

Ответ: доказано.