217 Прямые, содержащие высоты АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В тупой, ∠C= 20°. Найдите угол АНВ.

Дано: ∆ABC, AA₁ и BB₁ – высоты, AA₁ ∩ BB₁ = H, ∠C = 20°, ∠B – тупой.

Найти: ∠AHB

Решение:

1) Рассмотрим четырехугольник A₁B₁СH. ∠AA₁C = 90° и ∠BB₁C = 90°, следовательно, ∠AA₁C + ∠BB₁C = 180°. Т.е. четырехугольник A₁B₁СH - вписанный, т.к. сумма противоположных углов равна 180°.

2) ∠A₁HB₁ = ∠C (как вертикальные). ∠A₁HB₁ + ∠AHB = 180° (как смежные), ⇒ ∠AHB = 180° - ∠A₁HB₁ = 180° - ∠C = 180° - 20° = 160°.

3) т.к. четырехугольник A₁B₁СH вписанный, то углы опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит ∠A₁CB₁ = ∠A₁HB₁ = ∠C = 20°.

Ответ: 160°.

Ответ: 160°