e) lim x→0 2x sin x 1-cosx .

e) Для вычисления предела $$\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1 - \cos x}$$ используем эквивалентные бесконечно малые функции.

При $$x \to 0$$:

• $$\sin x \approx x$$
• $$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$$

Тогда:

$$\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot x}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 \cdot 2}{x^2} = 4$$

Ответ: 4