1.307. Если имеющиеся карандаши разложить в коробки по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить в коробки по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько имеется карандашей, если их больше 50, но меньше 100?

Пусть $$x$$ - количество карандашей. Тогда можно записать следующие условия: $$x = 8a + 5$$, где $$a$$ - количество коробок в первом случае. $$x = 6b + 5$$, где $$b$$ - количество коробок во втором случае. Из этих уравнений следует, что $$x - 5$$ делится и на 8, и на 6. Значит, $$x-5$$ должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 8 и 6. НОК(8, 6) = 24. Тогда $$x - 5 = 24k$$, где $$k$$ - некоторое целое число. $$x = 24k + 5$$. По условию $$50 < x < 100$$. Подставляем различные значения $$k$$ и ищем $$x$$ в указанном диапазоне: При $$k = 1$$, $$x = 24 * 1 + 5 = 29$$ (не подходит, так как меньше 50). При $$k = 2$$, $$x = 24 * 2 + 5 = 53$$ (подходит, так как больше 50 и меньше 100). При $$k = 3$$, $$x = 24 * 3 + 5 = 77$$ (подходит, так как больше 50 и меньше 100). При $$k = 4$$, $$x = 24 * 4 + 5 = 101$$ (не подходит, так как больше 100). Таким образом, возможны два варианта: 53 или 77 карандашей. Ответ: 53 или 77 карандашей.