Г-7 Контрольная работа № 4 по теме: «Окружность и круг. Геометрические построения». Вариант 2. № 3. В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF=NK (рис.65). Докажите, что ∠MNK=∠MNF.

Дано:

• Окружность с центром О.
• MN - диаметр.
• NF и NK - хорды.
• NF = NK.

Доказать:

• ∠MNK = ∠MNF

Доказательство:

1. Так как хорды NF и NK равны (NF=NK), то они стягивают равные дуги: дуга NF = дуга NK.
2. Рассмотрим углы ∠NMF и ∠NMK.
3. ∠NMF - вписанный угол, опирающийся на дугу NF.
4. ∠NMK - вписанный угол, опирающийся на дугу NK.
5. Так как дуга NF = дуга NK, то и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны: ∠NMF = ∠NMK.
6. MN является диаметром окружности. Углы ∠MFN и ∠FKN, опирающиеся на диаметр, являются прямыми: ∠MFN = 90° и ∠FKN = 90°.
7. Рассмотрим ∆MNF и ∆MNK.
8. ∠NMF = ∠NMK (доказано выше).
9. ∠MFN = 90° (опирается на диаметр MN).
10. ∠MKN = 90° (опирается на диаметр MN).
11. Таким образом, ∆MNF и ∆MNK имеют равные углы: ∠NMF = ∠NMK и ∠MFN = ∠MKN.
12. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
13. Следовательно, ∠MNF = 180° - 90° - ∠NMF = 90° - ∠NMF.
14. И ∠MNK = 180° - 90° - ∠NMK = 90° - ∠NMK.
15. Так как ∠NMF = ∠NMK, то ∠MNF = ∠MNK.

Что и требовалось доказать.