Г-7 Контрольная работа № 4 по теме: «Окружность и круг. Геометрические построения». Вариант 1. № 3. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠BAC=∠ BAD(рис.63). Докажите, что AC=AD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и ABD.

1. Углы, опирающиеся на диаметр: Угол ACB опирается на диаметр AB, поэтому он прямой: ∠ACB = 90°.

2. Углы, опирающиеся на диаметр: Угол ADB опирается на диаметр AB, поэтому он прямой: ∠ADB = 90°.

3. Общая сторона: Сторона AB является общей для обоих треугольников.

4. Равенство углов: По условию задачи, ∠BAC = ∠BAD.

5. Сравнение треугольников:

• В треугольнике ABC: ∠ACB = 90°, ∠BAC. Тогда ∠ABC = 180° - 90° - ∠BAC = 90° - ∠BAC.
• В треугольнике ABD: ∠ADB = 90°, ∠BAD. Поскольку ∠BAC = ∠BAD, то ∠ABD = 180° - 90° - ∠BAD = 90° - ∠BAD = 90° - ∠BAC.

Таким образом, ∠ABC = ∠ABD.

6. Признак равенства треугольников: Треугольники ABC и ABD имеют общий диаметр AB, равные углы ∠BAC = ∠BAD (по условию) и ∠ABC = ∠ABD (доказано). Следовательно, треугольники ABC и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол).

7. Вывод: Из равенства треугольников ABC и ABD следует, что их соответствующие стороны равны. Следовательно, AC = AD.

Что и требовалось доказать.