Годовая контрольная работа, вариант 1, задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH, причем CH = 8 см, \(\angle B = 45^\circ\). Найдите гипотенузу AB.

Так как \(\angle B = 45^\circ\) и \(\angle C = 90^\circ\), то \(\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, и AC = BC. В прямоугольном треугольнике CHB, \(\angle B = 45^\circ\), значит, \(\angle BCH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\), и треугольник CHB также равнобедренный, следовательно, CH = HB = 8 см. Тогда BC = CH + HB = 8 + 8 = 16 см. Теперь, так как AC = BC, то AC = 16 см. По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) \(AB^2 = 16^2 + 16^2\) \(AB^2 = 256 + 256 = 512\) \(AB = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}\) см. Ответ: \(AB = 16\sqrt{2}\) см.