Годовая контрольная работа, вариант 2, задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса BM, причем \(\angle AMB = 110^\circ\). Найдите угол BAM.

В треугольнике ABM известны углы \(\angle AMB = 110^\circ\). Т.к. BM - биссектриса, то \(\angle ABM = \frac{\angle B}{2}\). В прямоугольном треугольнике ABC \(\angle A + \angle B = 90^\circ\), значит \(\angle B = 90^\circ - \angle A\). В треугольнике ABM: \(\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ\) \(\angle BAM + \frac{\angle B}{2} + 110^\circ = 180^\circ\) \(\angle BAM + \frac{90^\circ - \angle A}{2} = 70^\circ\) Пусть \(\angle BAM = \angle A\). Тогда: \(\angle A + 45^\circ - \frac{\angle A}{2} = 70^\circ\) \(\frac{\angle A}{2} = 25^\circ\) \(\angle A = 50^\circ\) Ответ: \(\angle BAM = 50^\circ\).