11. Hа сторонах АВ и ВС тре- угольника АВС взяли точки Ди Е так, что BD BE, а угол ADC равен углу АЕС. Докажите, что AE = CD.

Решение:

Дано:

• Треугольник ABC.
• Точки D и E на сторонах AB и BC соответственно.
• BD = BE
• ∠ADC = ∠AEC

Доказать: AE = CD

Доказательство:

• Рассмотрим треугольники BDE. Так как BD = BE, то треугольник BDE - равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BDE = ∠BED.
• ∠ADE = 180° - ∠BDE и ∠BEC = 180° - ∠BED.
• Так как ∠BDE = ∠BED, то ∠ADE = ∠BEC.
• Рассмотрим треугольники ADC и AEC:
• ∠ADC = ∠AEC (по условию)
• ∠ADE = ∠BEC (доказано выше)

Следовательно, треугольники ADC и AEC равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AE = CD.

Ответ: AE = CD (доказано).