10. На сторонах АВ и ВС тре- угольника АВС взяли точки М и К так, что АМСК, BM ВК. Дока- жите, что АK CM. ( рис.)

Решение:

Дано:

• Треугольник ABC.
• Точки M и K на сторонах AB и BC соответственно.
• AM = CK
• BM = BK

Доказать: AK = CM

Доказательство:

• Так как AB = AM + MB, BC = BK + KC, AM = CK и BM = BK, то AB = BC.
• Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.
• Рассмотрим треугольники ABK и CBM:
• AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника)
• ∠BAC = ∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника)
• AM = CK (по условию)
• Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AK = CM.

Ответ: AK = CM (доказано).