І уровень сложности Вариант 1 1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; 6) AC: BD; B) SAOC: SBOD

Решение:

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$.

$$\angle A = \angle B$$ по условию,$$\angle AOC = \angle BOD$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOC \sim \triangle BOD$$ (по двум углам).

а) Так как треугольники подобны, то соответственные стороны пропорциональны:

$$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$ $$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$ $$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$

б) \(AC : BD\)

$$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$ $$\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

в) \(S_{AOC} : S_{BOD}\)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AC}{BD}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ:

1. а) OB = 7.5
2. б) AC : BD = 2 : 3
3. в) SAOC : SBOD = 4 : 9

Ответ: а) 7.5; б) 2:3; в) 4:9