12. Игральную кость бросают дважды. Событие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй, а событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый. Сколько элементарных исходов благоприятствуют событиям АПВ и AUB?

Рассмотрим бросок игральной кости дважды. Всего возможных исходов 36 (6x6).

Событие А: в первый раз выпало больше очков, чем во второй.

Событие В: во второй раз выпало больше очков, чем в первый.

Событие $$A \cap B$$ – это когда одновременно в первый раз выпало больше, чем во второй, и во второй раз выпало больше, чем в первый. Это невозможно, следовательно, $$A \cap B = \emptyset$$, и количество элементарных исходов равно 0.

Событие $$A \cup B$$ – это когда либо в первый раз выпало больше, чем во второй, либо во второй раз выпало больше, чем в первый.

Рассмотрим все возможные исходы:

• (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) – 5
• (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) – 5
• (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6) – 5
• (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6) – 5
• (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6) – 5
• (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) – 5

Событие А состоит в исходах (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5). Количество таких исходов = 15

Событие B состоит в исходах (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6). Количество таких исходов = 15

Тогда $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$ = 15 + 15 - 0 = 30

Но также возможны варианты, когда выпали одинаковые числа (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Тогда число исходов, когда в первый раз выпало больше, чем во второй, или во второй раз выпало больше, чем в первый 36 - 6 = 30. $$|A \cup B|$$ = 30

Ответ: 0 элементарных исходов благоприятствуют событию A ∩ B; 30 элементарных исходов благоприятствуют событию A ∪ B.