9. На кружок по математике пришли 12 человек. Учитель предложил решить две задачи: одна — на проценты, вторая — на движение. Спустя некоторое время семеро учеников решили задачу на проценты, а девять учеников — задачу на движение. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик решил обе задачи, если известно, что каждый решил хотя бы одну.

Определим события:

• A – ученик решил задачу на проценты.
• B – ученик решил задачу на движение.

Из условия дано:

• Всего учеников: 12
• Решили задачу на проценты: 7
• Решили задачу на движение: 9

Каждый решил хотя бы одну задачу, следовательно, нам нужно найти вероятность, что ученик решил обе задачи при условии, что он решил хотя бы одну.

Сначала найдем количество учеников, решивших обе задачи:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Где |A ∪ B| = 12 (так как каждый решил хотя бы одну задачу), |A| = 7, |B| = 9.

$$12 = 7 + 9 - |A \cap B|$$ $$|A \cap B| = 7 + 9 - 12 = 4$$

Значит, 4 ученика решили обе задачи.

Теперь найдем условную вероятность P(A ∩ B | A ∪ B), т.е. вероятность того, что ученик решил обе задачи, при условии, что он решил хотя бы одну:

$$P(A \cap B | A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранный ученик решил обе задачи, если известно, что каждый решил хотя бы одну, равна $$\frac{1}{3}$$.