II уровень (карточка № 2). 2. В треугольнике MNK ∠N = 150°, MN = 4 см, NK = 6 см, NE — биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольников MNE и NKE.

Сначала найдём площадь всего треугольника:

\(S_{MNK}=\frac12\cdot MN\cdot NK\cdot\sin150^\circ=\frac12\cdot4\cdot6\cdot\frac12=6\text{ см}^2\).

Треугольники MNE и NKE имеют высоты к прямой MK с общим основанием по высоте, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований ME и EK. По теореме о биссектрисе \(ME:EK=MN:NK=4:6=2:3\).

Значит, площади равны \(\frac25\cdot6=2.4\) см² и \(\frac35\cdot6=3.6\) см².

Ответ: \(S_{MNE}=2.4\) см², \(S_{NKE}=3.6\) см².