II уровень (карточка № 2). 3. Медианы ΔABC пересекаются в точке O, ∠ABC = 30°, AB = 4 см, BC = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников AOC, BOC, BOA.

Площадь исходного треугольника:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin30^\circ=\frac12\cdot4\cdot6\cdot\frac12=6\text{ см}^2\).

Точка пересечения медиан делит треугольник на шесть равновеликих малых треугольников. Каждый из треугольников AOC, BOC и BOA состоит из двух таких частей, поэтому площадь каждого равна \(\frac13S_{ABC}=2\) см².

Искомое произведение: \(2\cdot2\cdot2=8\).

Ответ: 8 см⁶.