II уровень сложности. Вариант 1. 1. На луче с началом в точке A отмечены точки B и C. Известно, что AB = 10,3 см, BC = 2,4 см. Какую длину может иметь отрезок AC? 2. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 42°. Найдите все образовавшиеся углы. 3. Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите углы, которые образует биссектриса большего угла со сторонами меньшего. 4*. Прямые AB и CD пересекаются в точке O. OK — биссектриса угла AOD, ∠COK = 118°. Найдите величину угла BOD.

1. Если C расположена между A и B, то AB = AC + BC, поэтому AC = 10,3 − 2,4 = 7,9 см. Если B расположена между A и C, то AC = AB + BC = 10,3 + 2,4 = 12,7 см.

Ответ: 7,9 см или 12,7 см.

2. Углы при пересечении прямых бывают двух величин: смежные в сумме дают 180°, а вертикальные равны. Пусть величины углов равны x и y. Тогда x + y = 180° и x − y = 42°. Отсюда x = 111°, y = 69°. Получаются две пары вертикальных углов.

Ответ: 69°, 111°, 69°, 111°.

3. Пусть меньший смежный угол равен x, тогда больший равен 5x. Из x + 5x = 180° получаем x = 30°, а больший угол равен 150°. Биссектриса большего угла делит его на углы по 75°. Каждый из этих углов со стороной меньшего угла составляет 180° − 75° = 105°.

Ответ: 105° и 105°.

4*. Углы AOD и BOC — вертикальные, а ∠AOD = 2∠AOK. Лучи OC и OK на рисунке образуют угол ∠COK = 118°; при расположении лучей, показанном на рисунке, ∠AOK = 180° − 118° = 62°. Тогда ∠AOD = 2 · 62° = 124°. Угол BOD смежный с AOD, поэтому ∠BOD = 180° − 124° = 56°.

Ответ: ∠BOD = 56°.