II уровень сложности. Вариант 2. 1. На луче с началом в точке A отмечены точки B и C. Известно, что AC = 7,8 см, BC = 2,5 см. Какую длину может иметь отрезок AB? 2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 22° меньше другого. Найдите все образовавшиеся углы. 3. Один из смежных углов в четыре раза меньше другого. Найдите углы, которые образует биссектриса меньшего угла со сторонами большего. 4*. Прямые MN и PK пересекаются в точке E. EC — биссектриса угла MED. ∠CEK = 137°. Найдите величину угла KEM.

1. Если B расположена между A и C, то AB = AC − BC = 7,8 − 2,5 = 5,3 см. Если C расположена между A и B, то AB = AC + BC = 7,8 + 2,5 = 10,3 см.

Ответ: 5,3 см или 10,3 см.

2. Пусть больший угол равен x, меньший — y. Тогда x + y = 180° и x − y = 22°. Складывая равенства, получаем 2x = 202°, откуда x = 101°, y = 79°. Вертикальные углы равны.

Ответ: 79°, 101°, 79°, 101°.

3. Пусть меньший угол равен x, тогда больший — 4x. Из x + 4x = 180° получаем x = 36°, больший угол равен 144°. Биссектриса меньшего угла делит его на части по 18°. Каждый угол между биссектрисой и стороной большего угла равен 180° − 18° = 162°.

Ответ: 162° и 162°.

4*. Прямые MN и PK пересекаются в E, поэтому лучи EK и EP противоположны. Следовательно, ∠CEP = 180° − ∠CEK = 43°. Но условие сообщает только, что EC — биссектриса угла MED, не задавая, как лучи EM и ED расположены относительно EP и EK. По обычной конфигурации рисунка, где лучи EM и EK образуют угол KEM, величина ∠KEM зависит от расположения лучей; данных для однозначного определения нет. Нужен рисунок 1.136 или уточнение взаимного расположения лучей и обозначения точки D.

Ответ: однозначно найти ∠KEM по приведённым данным нельзя; необходим рисунок или уточнение расположения лучей.