II вариант. 1. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием 5 см. Высота призмы — 3 см. Определите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через основание равнобедренного треугольника и противоположную вершину верхнего основания призмы, если диагонали равных боковых граней равны 6,5 см.

Сечение — треугольник, у которого основание равно 5 см, а вершина находится над противоположной вершиной нижнего основания.

Пусть боковая сторона треугольника основания равна \(a\). Диагональ соответствующей боковой грани прямоугольной призмы образует прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и 3 см. Поэтому \(a^2+3^2=6.5^2\), откуда \(a^2=33.25\).

Высота треугольника основания к стороне 5 см делит её пополам. Её квадрат равен \(a^2-2.5^2=33.25-6.25=27\), значит, высота равна \(3\sqrt3\) см.

Высота сечения перпендикулярна основанию сечения и состоит из этой высоты основания и высоты призмы: её квадрат равен \((3\sqrt3)^2+3^2=36\). Высота сечения равна 6 см.

Площадь сечения: \(\frac12\cdot5\cdot6=15\) см².

Ответ: 15 см².