ІІІ 7. Определите длину математического маятника, кото- рый за 10 с совершает на 4 полных колебания меньше, чем математический маятник длиной 60 см.

Определим длину математического маятника, который за 10 с совершает на 4 полных колебания меньше, чем математический маятник длиной 60 см. Количество колебаний первого маятника обозначим как $$N_1$$, а второго - $$N_2$$. Время наблюдения $$t = 10 \text{ с}$$. Длина второго маятника $$l_2 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$$. Из условия $$N_1 = N_2 - 4$$.

Частота колебаний: $$f = \frac{N}{t}$$. Тогда $$f_1 = \frac{N_1}{t}$$ и $$f_2 = \frac{N_2}{t}$$. $$f_1 = f_2 - \frac{4}{10} = f_2 - 0.4$$.

Частота связана с периодом: $$f = \frac{1}{T}$$. Период колебаний математического маятника определяется формулой: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$, где $$T$$ - период колебаний, $$l$$ - длина маятника, $$g$$ - ускорение свободного падения.

Тогда $$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$. Для первого маятника: $$f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l_1}}$$. Для второго маятника: $$f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l_2}}$$.

Выразим $$f_1$$ через $$f_2$$: $$\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l_1}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l_2}} - 0.4$$. Умножим обе части уравнения на $$2\pi$$: $$\sqrt{\frac{g}{l_1}} = \sqrt{\frac{g}{l_2}} - 0.4 \times 2\pi$$.

Подставим $$g = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$ и $$l_2 = 0.6 \text{ м}$$: $$\sqrt{\frac{9.8}{l_1}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.6}} - 0.4 \times 2\pi = \sqrt{16.33} - 0.8 \pi = 4.04 - 2.51 = 1.53$$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $$\frac{9.8}{l_1} = (1.53)^2 = 2.34$$. Тогда $$l_1 = \frac{9.8}{2.34} \approx 4.19 \text{ м}$$.

Ответ: Длина математического маятника равна 4.19 м.