8. Один математический маятник имеет период колебаний 3 с, а другой — 4 с. Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин указанных маятников?

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

где:

• $$T$$ – период колебаний,
• $$L$$ – длина маятника,
• $$g$$ – ускорение свободного падения.

Выразим длину маятника через период:

$$ L = \frac{gT^2}{4\pi^2} $$

Пусть $$T_1 = 3 \text{ с}$$ и $$T_2 = 4 \text{ с}$$ – периоды первого и второго маятников соответственно, а $$L_1$$ и $$L_2$$ – их длины. Тогда:

$$ L_1 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2} $$ $$ L_2 = \frac{gT_2^2}{4\pi^2} $$

Длина третьего маятника $$L_3 = L_1 + L_2$$, а его период – $$T_3$$. Тогда:

$$ L_3 = L_1 + L_2 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2} + \frac{gT_2^2}{4\pi^2} = \frac{g(T_1^2 + T_2^2)}{4\pi^2} $$ $$ T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{L_3}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{g(T_1^2 + T_2^2)}{4\pi^2 g}} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2} $$

Вычислим период третьего маятника:

$$ T_3 = \sqrt{(3 \text{ с})^2 + (4 \text{ с})^2} = \sqrt{9 + 16} \text{ с} = \sqrt{25} \text{ с} = 5 \text{ с} $$

Ответ: Период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин указанных маятников, составляет 5 с.