III уровень, III вариант. № 2. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM = MB, AN : ND = 3 : 4. Выразите векторы CM, CN, MN через векторы x = CB, y = CD.

Положим начало в точке C. Тогда \(\overrightarrow{CB}=\vec x\), \(\overrightarrow{CD}=\vec y\), а \(\overrightarrow{CA}=\vec x+\vec y\).

M — середина AB. Поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac12(\vec x+\vec y+\vec x)=\vec x+\frac12\vec y\).

Точка N делит AD в отношении \(AN:ND=3:4\), то есть \(\overrightarrow{AN}=\frac37\overrightarrow{AD}\). Поскольку \(\overrightarrow{AD}=-\vec x\), получаем \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\vec x+\vec y-\frac37\vec x=\frac47\vec x+\vec y\).

Тогда \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}=-\frac37\vec x+\frac12\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\vec x+\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{CN}=\frac47\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac37\vec x+\frac12\vec y\).