II вариант. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Положим начало отсчёта в точке B. Тогда положения точек A и C задаются векторами \(\vec x\) и \(\vec y\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

1. O — середина диагонали BD, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. P — середина CD. Поскольку \(\overrightarrow{BC}=\vec y\) и \(\overrightarrow{CD}=\vec x\), получаем \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{CD}=\vec y+\frac12\vec x\).
3. \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\vec y+\frac12\vec x)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).