III уровень, III вариант. № 3. В трапеции MNKP угол M равен 45°, угол P равен 30°, боковые стороны равны 8 и 10 см, а меньшее основание равно 5 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Предположим, что основания трапеции — MP и NK: углы M и P заданы при основании MP. Тогда горизонтальные проекции боковых сторон на направление оснований составляют \(8\cos45°\) и \(10\cos30°\). Следовательно, разность оснований равна \(8\cdot\frac{\sqrt2}{2}+10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt2+5\sqrt3\) см.

Средняя линия равна меньшему основанию плюс половина разности оснований: \(5+\frac{4\sqrt2+5\sqrt3}{2}=5+2\sqrt2+\frac52\sqrt3\approx12{,}76\) см.

Ответ: \(5+2\sqrt2+\frac52\sqrt3\) см (примерно 12,76 см).