Исследуйте функцию y = x³ - 3x² + 2 (найти критические точки, промежутки возрастания и убывания).

Решение:

Для исследования функции \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) найдём её производную:

\( y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x \).

Критические точки — точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная существует везде, поэтому приравняем её к нулю:

\( 3x^2 - 6x = 0 \)

\( 3x(x - 2) = 0 \)

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Это критические точки.

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• Интервал \( (-∞, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
• Интервал \( (0, 2) \): Возьмём \( x = 1 \). \( y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). На этом интервале функция убывает.
• Интервал \( (2, +∞) \): Возьмём \( x = 3 \). \( y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.

Промежутки возрастания: \( (-∞, 0] \) и \( [2, +∞) \).

Промежутки убывания: \( [0, 2] \).

Экстремумы:

• При \( x = 0 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, это точка локального максимума. \( y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \). Точка максимума: \( (0, 2) \).
• При \( x = 2 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), значит, это точка локального минимума. \( y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \). Точка минимума: \( (2, -2) \).

Ответ: Критические точки: x = 0, x = 2. Промежутки возрастания: \( (-∞, 0] \) и \( [2, +∞) \). Промежутки убывания: \( [0, 2] \). Точка максимума (0, 2), точка минимума (2, -2).