Решите уравнение: cos²x + cos² 3x = sin² 2x

Решение:

Дано уравнение: \( \text{cos}^2 x + \text{cos}^2 3x = \text{sin}^2 2x \).

Используем тригонометрические тождества:

\( \text{cos}^2 α = \frac{1 + \text{cos}(2α)}{2} \)

\( \text{sin}^2 α = \frac{1 - \text{cos}(2α)}{2} \)

Подставим в уравнение:

\( \frac{1 + \text{cos}(2x)}{2} + \frac{1 + \text{cos}(6x)}{2} = \frac{1 - \text{cos}(4x)}{2} \)

Умножим обе части на 2:

\( 1 + \text{cos}(2x) + 1 + \text{cos}(6x) = 1 - \text{cos}(4x) \)

\( 2 + \text{cos}(2x) + \text{cos}(6x) = 1 - \text{cos}(4x) \)

\( \text{cos}(2x) + \text{cos}(6x) + \text{cos}(4x) + 1 = 0 \)

Используем формулу суммы косинусов \( \text{cos} α + \text{cos} β = 2 \text{cos}(\frac{α+β}{2}) \text{cos}(\frac{α-β}{2}) \):

\( (\text{cos}(2x) + \text{cos}(6x)) + \text{cos}(4x) + 1 = 0 \)

\( 2 \text{cos}(\frac{2x+6x}{2}) \text{cos}(\frac{6x-2x}{2}) + \text{cos}(4x) + 1 = 0 \)

\( 2 \text{cos}(4x) \text{cos}(2x) + \text{cos}(4x) + 1 = 0 \)

\( \text{cos}(4x) (2 \text{cos}(2x) + 1) + 1 = 0 \)

Перегруппируем члены:

\( \text{cos}(4x) + 2 \text{cos}(2x)\text{cos}(4x) + 1 = 0 \)

Заменим \( \text{cos}(4x) \) через \( 2\text{cos}^2(2x) - 1 \):

\( (2\text{cos}^2(2x) - 1) + 2 \text{cos}(2x)(2\text{cos}^2(2x) - 1) + 1 = 0 \)

\( 2\text{cos}^2(2x) - 1 + 4\text{cos}^3(2x) - 2\text{cos}(2x) + 1 = 0 \)

\( 4\text{cos}^3(2x) + 2\text{cos}^2(2x) - 2\text{cos}(2x) = 0 \)

Вынесем \( 2\text{cos}(2x) \) за скобки:

\( 2\text{cos}(2x) (2\text{cos}^2(2x) + \text{cos}(2x) - 1) = 0 \)

Отсюда получаем два случая:

Случай 1: \( 2\text{cos}(2x) = 0 \) \( \rightarrow \text{cos}(2x) = 0 \)

\( 2x = \frac{\pi}{2} + πn \), где \( n ∈ ℤ \)

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{πn}{2} \), где \( n ∈ ℤ \)

Случай 2: \( 2\text{cos}^2(2x) + \text{cos}(2x) - 1 = 0 \)

Сделаем замену \( y = \text{cos}(2x) \). Получаем квадратное уравнение: \( 2y^2 + y - 1 = 0 \).

Дискриминант \( D = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).

\( y_{1,2} = \frac{-1 ± \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 ± 3}{4} \)

\( y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( \rightarrow \text{cos}(2x) = \frac{1}{2} \)

\( 2x = ± \frac{\pi}{3} + 2πk \), где \( k ∈ ℤ \)

\( x = ± \frac{\pi}{6} + πk \), где \( k ∈ ℤ \)

\( y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) \( \rightarrow \text{cos}(2x) = -1 \)

\( 2x = π + 2πm \), где \( m ∈ ℤ \)

\( x = \frac{\pi}{2} + πm \), где \( m ∈ ℤ \)

Объединим все корни.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{πn}{2}, x = \pm \frac{\pi}{6} + πk, x = \frac{\pi}{2} + πm \), где \( n, k, m ∈ ℤ \).