Постройте график функции: y = -2x² + 4x - 1

Решение:

Это квадратичная функция вида \( y = ax^2 + bx + c \). График — парабола.

• Коэффициенты: \( a = -2 \), \( b = 4 \), \( c = -1 \).
• Направление ветвей: Так как \( a = -2 < 0 \), ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы: Координата \( x_в \) находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \). \[ x_в = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1 \] Координата \( y_в \) находится подстановкой \( x_в \) в уравнение: \[ y_в = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 4 - 1 = 1 \] Вершина параболы находится в точке \( (1, 1) \).
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Решаем уравнение \( -2x^2 + 4x - 1 = 0 \). Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-2)(-1) = 16 - 8 = 8 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2(-2)} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{-4} = 1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2} \] \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.29 \), \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.71 \).
• Точка пересечения с осью Oy: При \( x = 0 \), \( y = -2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1 \). Точка пересечения с осью Oy: \( (0, -1) \).

Ответ: график — парабола с вершиной в точке (1, 1), ветви направлены вниз, нули функции приблизительно 0.29 и 1.71, пересекает ось Oy в точке (0, -1).