Из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью 54 км/ч. Через \(2\frac{1}{3}\) ч вслед за ним выехал автомобиль со скоростью в \(1\frac{4}{9}\) раза больше скорости автобуса. На каком расстоянии от автобуса будет автомобиль через 1 ч 45 мин после своего выезда? Через сколько времени после своего выезда он догонит автобус? С какой скоростью надо ехать автомобилю, чтобы догнать автобус через \(3\frac{1}{2}\) ч?

Решение:

Давай разберем эту задачу по порядку.

1. Найдем скорость автомобиля:

   Скорость автомобиля больше скорости автобуса в \(1\frac{4}{9}\) раза, то есть в \(\frac{13}{9}\) раза. Следовательно, скорость автомобиля равна:

   \[54 \cdot \frac{13}{9} = 6 \cdot 13 = 78 \text{ км/ч}.\]

2. Найдем время, которое автобус был в пути до выезда автомобиля:

   Автобус выехал на \(2\frac{1}{3}\) часа раньше автомобиля, то есть на \(\frac{7}{3}\) часа.

3. Найдем расстояние, которое проехал автобус до выезда автомобиля:

   Расстояние равно скорости, умноженной на время:

   \[54 \cdot \frac{7}{3} = 18 \cdot 7 = 126 \text{ км}.\]

4. Найдем время, которое автомобиль и автобус были в пути вместе до момента, когда прошло 1 ч 45 мин после выезда автомобиля:

   1 час 45 минут это \(1\frac{45}{60}\) часа, что равно \(1\frac{3}{4}\) часа или \(\frac{7}{4}\) часа.

5. Найдем расстояние, которое проехал автобус за это время:

   \[54 \cdot \frac{7}{4} = \frac{378}{4} = 94.5 \text{ км}.\]

6. Найдем расстояние, которое проехал автомобиль за это время:

   \[78 \cdot \frac{7}{4} = \frac{546}{4} = 136.5 \text{ км}.\]

7. Найдем общее расстояние, которое проехал автобус:

   \[126 + 94.5 = 220.5 \text{ км}.\]

8. Найдем расстояние между автобусом и автомобилем через 1 ч 45 мин после выезда автомобиля:

   \[220.5 - 136.5 = 84 \text{ км}.\]

9. Найдем скорость сближения автомобиля и автобуса:

   \[78 - 54 = 24 \text{ км/ч}.\]

10. Найдем время, через которое автомобиль догонит автобус:

    \[\frac{126}{24} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4} = 5.25 \text{ часа}.\]

    5. 25 часа это 5 часов и 15 минут.

11. Найдем, через сколько времени после своего выезда автомобиль догонит автобус:

    Автомобиль догонит автобус через 5 часов 15 минут после своего выезда.

12. Найдем скорость, с которой надо ехать автомобилю, чтобы догнать автобус через \(3\frac{1}{2}\) часа:

    Пусть x - скорость автомобиля.

    Расстояние, которое проедет автобус за \(3\frac{1}{2}\) часа:

    \[54 \cdot 3.5 = 189 \text{ км}.\]

    Расстояние, которое проедет автомобиль за \(3\frac{1}{2}\) часа:

    \[x \cdot 3.5 \text{ км}.\]

    Уравнение:

    \[3.5x = 126 + 189\] \[3.5x = 315\] \[x = \frac{315}{3.5} = 90 \text{ км/ч}.\]

Ответ: 84 км; 5 часов 15 минут; 90 км/ч.

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!