8. Из перечисленных многочленов выпишите те, значения которых положительны при всех значениях входящих в них переменных; отрицательны при всех значениях входящих в них переменных: 1) x⁴ + 2x² + 5, x⁷ + x³ + x, -x² - 7; 2) -a² - u² - a⁴u² - 3, -a - u - 6, a² + u² + 5.

**Решение:** 1) \( x^4 + 2x^2 + 5 \) - положительный при всех значениях \(x\), так как \(x^4\) и \(x^2\) всегда неотрицательны, и к ним добавляется положительное число 5. \( x^7 + x^3 + x \) - не является ни положительным, ни отрицательным при всех значениях \(x\). Например, если \(x = 1\), то \(1 + 1 + 1 = 3\) (положительное), а если \(x = -1\), то \(-1 - 1 - 1 = -3\) (отрицательное). \( -x^2 - 7 \) - отрицательный при всех значениях \(x\), так как \(x^2\) всегда неотрицателен, значит \(-x^2\) всегда неположителен, и к нему добавляется отрицательное число -7. 2) \( -a^2 - u^2 - a^4u^2 - 3 \) - отрицательный при всех значениях \(a\) и \(u\), так как \(a^2\), \(u^2\), \(a^4u^2\) всегда неотрицательны, значит \(-a^2\), \(-u^2\), \(-a^4u^2\) всегда неположительны, и к ним добавляется отрицательное число -3. \( -a - u - 6 \) - не является ни положительным, ни отрицательным при всех значениях \(a\) и \(u\). Например, если \(a = 1\) и \(u = 1\), то \(-1 - 1 - 6 = -8\) (отрицательное), а если \(a = -1\) и \(u = -1\), то \(1 + 1 - 6 = -4\) (отрицательное, но при \(a = -1\) и \(u = -1\) будет \(-a-u-6 = -(-1)-(-1)-6=1+1-6=-4 < 0\)). \( a^2 + u^2 + 5 \) - положительный при всех значениях \(a\) и \(u\), так как \(a^2\) и \(u^2\) всегда неотрицательны, и к ним добавляется положительное число 5. **Ответы:** Положительные: \( x^4 + 2x^2 + 5 \), \( a^2 + u^2 + 5 \) Отрицательные: \( -x^2 - 7 \), \( -a^2 - u^2 - a^4u^2 - 3 \)