10. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, на 8 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $$S$$ - расстояние между пунктами А и В. Пусть $$v_1$$ - скорость первого автомобиля, а $$v_2$$ - скорость второго автомобиля на второй половине пути. По условию, второй автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью $$v_1 + 8$$ км/ч.

Время, которое первый автомобиль затратил на весь путь: $$t_1 = \frac{S}{v_1}$$.

Время, которое второй автомобиль затратил на первую половину пути: $$t_{21} = \frac{S}{2 \cdot 42}$$.

Время, которое второй автомобиль затратил на вторую половину пути: $$t_{22} = \frac{S}{2 \cdot (v_1 + 8)}$$.

Общее время, которое второй автомобиль затратил на весь путь: $$t_2 = t_{21} + t_{22} = \frac{S}{2 \cdot 42} + \frac{S}{2 \cdot (v_1 + 8)}$$.

Так как оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно, то $$t_1 = t_2$$, следовательно:

$$\frac{S}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot 42} + \frac{S}{2 \cdot (v_1 + 8)}$$

Разделим обе части уравнения на $$S$$ (поскольку расстояние не равно нулю):

$$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{84} + \frac{1}{2(v_1 + 8)}$$

Умножим обе части уравнения на $$84 \cdot v_1 \cdot (v_1 + 8)$$:

$$84(v_1 + 8) = v_1(v_1 + 8) + 42v_1$$

$$84v_1 + 672 = v_1^2 + 8v_1 + 42v_1$$

$$v_1^2 + 8v_1 + 42v_1 - 84v_1 - 672 = 0$$

$$v_1^2 - 34v_1 - 672 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$v_1$$.

$$D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-672) = 1156 + 2688 = 3844$$

$$\sqrt{D} = 62$$

$$v_{11} = \frac{34 + 62}{2} = \frac{96}{2} = 48$$

$$v_{12} = \frac{34 - 62}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v_1 = 48$$ км/ч.

Ответ: 48