8. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один автомобиль двигался равномерно со скоростью 60 км/ч, а другой в первый час прошел 45 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов автомобили встретились?

Пусть *t* - время до встречи. Первый автомобиль проехал $$60t$$ км. Для второго автомобиля, расстояние, которое он проехал за *t* часов, можно выразить как сумму арифметической прогрессии: $$S_t = \frac{t}{2}(2a_1 + (t-1)d)$$, где $$a_1 = 45$$ и $$d = 5$$. Тогда $$S_t = \frac{t}{2}(2 * 45 + (t-1) * 5) = \frac{t}{2}(90 + 5t - 5) = \frac{t}{2}(85 + 5t)$$. Сумма расстояний, пройденных двумя автомобилями, равна 450 км: $$60t + \frac{t}{2}(85 + 5t) = 450$$. Умножим обе части уравнения на 2: $$120t + t(85 + 5t) = 900 \Rightarrow 120t + 85t + 5t^2 = 900 \Rightarrow 5t^2 + 205t - 900 = 0$$. Разделим обе части уравнения на 5: $$t^2 + 41t - 180 = 0$$. Найдем корни квадратного уравнения: $$t = \frac{-41 \pm \sqrt{41^2 - 4 * 1 * (-180)}}{2} = \frac{-41 \pm \sqrt{1681 + 720}}{2} = \frac{-41 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{-41 \pm 49}{2}$$. У нас два корня: $$t_1 = \frac{-41 + 49}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ и $$t_2 = \frac{-41 - 49}{2} = \frac{-90}{2} = -45$$. Так как время не может быть отрицательным, то $$t = 4$$ часа. Ответ: Через 4 часа автомобили встретятся.