5. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии (aₙ), если: a) a₁ = 6, a₁₁ = 46; б) a₈ = 12, a₁₆ = 100.

a) Дано: a₁ = 6, a₁₁ = 46, n = 12. Сначала найдем разность *d*. $$a_{11} = a_1 + (11-1)d \Rightarrow 46 = 6 + 10d \Rightarrow 40 = 10d \Rightarrow d = 4$$. Теперь найдем a₁₂: $$a_{12} = a_1 + (12-1)d = 6 + 11 * 4 = 6 + 44 = 50$$. Теперь найдем сумму 12 членов: $$S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(6 + 50)}{2} = 6 * 56 = 336$$. б) Дано: a₈ = 12, a₁₆ = 100, n = 12. Сначала найдем разность *d*. $$a_{16} = a_8 + (16-8)d \Rightarrow 100 = 12 + 8d \Rightarrow 88 = 8d \Rightarrow d = 11$$. Теперь найдем a₁: $$a_8 = a_1 + (8-1)d \Rightarrow 12 = a_1 + 7 * 11 \Rightarrow 12 = a_1 + 77 \Rightarrow a_1 = -65$$. Теперь найдем a₁₂: $$a_{12} = a_1 + (12-1)d = -65 + 11 * 11 = -65 + 121 = 56$$. Теперь найдем сумму 12 членов: $$S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(-65 + 56)}{2} = 6 * (-9) = -54$$. Ответы: a) 336 б) -54