4. Найдите сумму: а) всех натуральных чисел, не превышающих 50; б) всех натуральных чисел, кратных 4, не превышающих 100; в) всех нечетных чисел, не превышающих 100.

a) Сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50: Это сумма чисел от 1 до 50. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$, где $$n = 50$$, $$a_1 = 1$$, $$a_n = 50$$. $$S_{50} = \frac{50(1 + 50)}{2} = \frac{50 * 51}{2} = 25 * 51 = 1275$$. б) Сумма всех натуральных чисел, кратных 4, не превышающих 100: Это сумма чисел 4, 8, 12, ..., 100. Здесь $$a_1 = 4$$, $$d = 4$$, $$a_n = 100$$. Найдем *n*: $$a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 100 = 4 + (n-1)4 \Rightarrow 96 = (n-1)4 \Rightarrow 24 = n-1 \Rightarrow n = 25$$. $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$. $$S_{25} = \frac{25(4 + 100)}{2} = \frac{25 * 104}{2} = 25 * 52 = 1300$$. в) Сумма всех нечетных чисел, не превышающих 100: Это сумма чисел 1, 3, 5, ..., 99. Здесь $$a_1 = 1$$, $$d = 2$$, $$a_n = 99$$. Найдем *n*: $$a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 99 = 1 + (n-1)2 \Rightarrow 98 = (n-1)2 \Rightarrow 49 = n-1 \Rightarrow n = 50$$. $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$. $$S_{50} = \frac{50(1 + 99)}{2} = \frac{50 * 100}{2} = 25 * 100 = 2500$$. Ответы: a) 1275 б) 1300 в) 2500