Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой m, опущены на эту прямую перпендикуляры AC и BD соответственно. Точки A и B равноудалены от прямой m, точка O – середина отрезка CD. Докажите, что ΔAOB – равнобедренный.

Пошаговое решение:

• По условию, AC и BD перпендикуляры к прямой m, значит, ∠ACO = ∠BDO = 90°.
• Точки A и B равноудалены от прямой m, значит, AC = BD.
• Точка O – середина отрезка CD, значит, CO = OD.
• Рассмотрим треугольники ACO и BDO.
• В треугольниках ACO и BDO: CO = OD, ∠ACO = ∠BDO = 90°, AC = BD.
• Значит, ΔACO = ΔBDO по двум сторонам и углу между ними.
• Из равенства треугольников следует, что AO = BO.
• Отсюда следует, что ΔAOB – равнобедренный, так как две стороны у него равны.