Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найти: ∠ABD. б) Доказать: прямые AB и CD пересекаются.

а) Так как AC и BD перпендикуляры к одной прямой, то они параллельны. В таком случае ∠BAC и ∠ABD являются внутренними односторонними углами при параллельных AC и BD и секущей AB. Поэтому ∠BAC + ∠ABD = 180°. Из условия ∠BAC = 117°. Значит, ∠ABD = 180° - ∠BAC = 180° - 117° = 63°. б) Для доказательства, что прямые AB и CD пересекаются, нужно показать, что эти прямые не параллельны. Прямые AB и CD могут не пересекаться, только если AC и BD отрезки расположены в один ряд. Так как по условию сказано, что точки лежат по одну сторону от прямой, а углы ∠CAB и ∠DBA не дают 180 градусов, то можно сказать, что прямые AB и CD пересекаются. Если бы прямые были параллельны, то ∠BAC и ∠ABD должны были бы быть вертикальными углами, но это не так. Также если сложить углы ∠CAB и ∠DBA то получится 117 + 63 = 180, что говорит нам что прямые AC и BD параллельны, но это не дает информации о том, что прямые AB и CD пересекаются. Угол ∠BAC = 117°, значит ∠BAC > 90°, а угол ∠ABD = 63° < 90°. Если бы прямые AB и CD были параллельны, то AC был бы перпендикулярен к CD и BD был бы перпендикулярен к CD. Но этого нет, поэтому они не параллельны, а значит пересекаются.