4. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 10.

Пусть касательные, проведенные из точки A, касаются окружности в точках B и C. Тогда угол \( \angle BAC = 60^{\circ} \). Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то \( AB = AC \). Значит, треугольник \( \triangle ABC \) - равнобедренный. Отрезки \( OB \) и \( OC \) являются радиусами, проведенными в точки касания, поэтому \( OB \perp AB \) и \( OC \perp AC \). Рассмотрим четырехугольник \( ABOC \). Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BOC = 360^{\circ} - \angle OBA - \angle OCA - \angle BAC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \). Он прямоугольный (\( \angle ABO = 90^{\circ} \)). Угол \( \angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABO \) катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. В нашем случае, \( OB = 10 \) (радиус), а \( AO \) - гипотенуза. Значит, \( OB = \frac{1}{2} AO \), следовательно, \( AO = 2 \cdot OB = 2 \cdot 10 = 20 \). Ответ: 20