11.5. Из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АС и наклон-ные АВ и AD (рис. 11.18). Найдите проекцию наклонной AD на плоскость α, если ∠BAC = 45°, AB = 8 см, AD = 9 см.

Рассмотрим рисунок 11.18.

АС - перпендикуляр к плоскости α.

АВ и AD - наклонные к плоскости α.

ВС - проекция наклонной АВ на плоскость α.

CD - проекция наклонной AD на плоскость α.

Треугольник АВС прямоугольный, так как АС перпендикуляр к плоскости, значит, АС перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности АС⊥ВС.

∠ВАС = 45°, значит, ∠АВС = 90° - 45° = 45°, следовательно, треугольник АВС равнобедренный, АС = ВС.

По теореме Пифагора, АВ²=АС²+ВС², значит, АВ² = 2АС².

АС² = АВ²/2 = 8²/2 = 64/2 = 32

АС = √32 = 4√2 (см)

Треугольник АCD прямоугольный, так как АС перпендикуляр к плоскости, значит, АС перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности АС⊥CD.

По теореме Пифагора, AD²=АС²+CD², отсюда CD²=AD²-АС².

CD² = 9² - (4√2)² = 81 - 32 = 49

CD = √49 = 7 (см)

Ответ: 7 см.