11.6. Из точки M проведены к плоскости α перпендикуляр MH и наклон-ные MA и MB (рис. 11.19). Найдите наклонную MA, если ВН = 6√6 см, MB = 18 см, ∠MAH = 60°.

Рассмотрим рисунок 11.19.

МH - перпендикуляр к плоскости α.

МА и МB - наклонные к плоскости α.

АН и ВH - проекции наклонных МА и МB на плоскость α.

Треугольник MHB прямоугольный, так как МH перпендикуляр к плоскости, значит, МH перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности МH⊥ВH.

По теореме Пифагора, MB²=МH²+ВH², отсюда MH²=MB²-ВH².

MH² = 18² - (6√6)² = 324 - 36 * 6 = 324 - 216 = 108

МH = √108 = 6√3 (см)

Треугольник МАН прямоугольный, так как МH перпендикуляр к плоскости, значит, МH перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности МH⊥АН.

sin ∠MAH = MH / MA

sin 60° = √3/2

MA = MH / sin 60° = 6√3 / (√3/2) = 6√3 * 2/√3 = 12 (см)

Ответ: 12 см.