10. Из точки А проведены к плоскости две наклонные АС и AD. AB перпендикуляр, опущенный из точки А к плоскости. Длина АС равна 9√2 см. Длина проекции наклонной AD равна 12 см. ∠ACB = 45°. Найти AD.

Обозначим проекцию наклонной АС на плоскость как ВС. Так как АВ - перпендикуляр к плоскости, то треугольник ABC - прямоугольный.

Дано: АС = 9√2 см, ∠ACB = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABC:

$$sin∠ACB = \frac{AB}{AC}$$

$$AB = AC \cdot sin∠ACB = 9\sqrt{2} \cdot sin45° = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9$$

Теперь рассмотрим треугольник ABD, который также является прямоугольным, где AD - гипотенуза, AB - катет (перпендикуляр), BD - катет (проекция AD на плоскость).

Дано: BD = 12 см, AB = 9 см.

По теореме Пифагора:

$$AD^2 = AB^2 + BD^2$$

$$AD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$

$$AD = \sqrt{225} = 15$$

Ответ: 15 см