8. Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$. Найдите расстояние между точками касания $A$ и $B$, если $\angle AOB = 60^{\circ}$ и $MA = 20$.

Так как $MA$ и $MB$ - касательные к окружности, то $\angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $AOM$. Он прямоугольный, и известно, что $MA = 20$ и $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Тогда $OA = MA \cdot \tan(\angle AMO) = rac{MA}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$. Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$, и $\angle AOB = 60^{\circ}$, следовательно, он равносторонний, то есть $AB = OA = OB$. Тогда $AB = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$