4. Из центра О квадрата ABCD со стороной 8 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 10 см. Найдите площадь треугольника АВМ

4. Дано: ABCD - квадрат, AB = BC = CD = DA = 8 см, O - центр квадрата, OM ⊥ (ABCD), OM = 10 см.

Найти: S_ABM.

Решение:

• Так как ABCD - квадрат, то AC = BD, O - точка пересечения диагоналей, AO = BO = CO = DO.
• Рассмотрим ΔABO. Он равнобедренный, AO = BO.
• AC = BD = a√2 = 8√2 см. (где а - сторона квадрата).
• AO = BO = 1/2 × AC = 1/2 × 8√2 = 4√2 см.
• Так как OM ⊥ (ABCD), то OM ⊥ AO и OM ⊥ BO.
• ΔAOM и ΔBOM - прямоугольные, OM - общий катет, AO = BO. Следовательно, ΔAOM = ΔBOM (по двум катетам).
• AM = BM (как гипотенузы равных треугольников).
• В прямоугольном ΔAOM: AM = √(AO² + OM²) = √((4√2)² + 10²) = √(32 + 100) = √132 см.
• ΔABM - равнобедренный, AM = BM.
• Проведем высоту MH к AB. Так как ΔABM - равнобедренный, то MH - медиана и высота. H - середина AB. AH = HB = 1/2 × AB = 1/2 × 8 = 4 см.
• В прямоугольном ΔMHB: MH = √(MB² - HB²) = √(132 - 16) = √116 см.
• S_ABM = 1/2 × AB × MH = 1/2 × 8 × √116 = 4√116 см².

Ответ: S_ABM = $$4\sqrt{116}$$ см².