6. В правильном треугольнике АВС точка О- центр. ОМ- перпендикуляр к плоскостиАВС. Найдите расстояние от точки М до стороны АВ, если АВ=12см., ОМ=6см.

6. Дано: ΔABC - правильный, AB = BC = AC = 12 см, O - центр ΔABC, OM ⊥ (ABC), OM = 6 см.

Найти: d(M, AB).

Решение:

• Так как ΔABC - правильный, то O - точка пересечения медиан, высот и биссектрис. OH - высота ΔABC.
• H - середина AB, AH = HB = 1/2 × AB = 1/2 × 12 = 6 см.
• CH - высота ΔABC, CH = (AB√3)/2 = (12√3)/2 = 6√3 см.
• Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то CO = (2/3) × CH = (2/3) × 6√3 = 4√3 см, OH = (1/3) × CH = (1/3) × 6√3 = 2√3 см.
• OH ⊥ AB.
• МО ⊥ (АВС) ⇒ MO ⊥ OH.
• MH ⊥ AB (по теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, d(M, AB) = MH.
• В прямоугольном ΔMOH: MH = √(OM² + OH²) = √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 см.

Ответ: d(M, AB) = $$\sqrt{48}$$ см.